Question

如下图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2 m的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a m，高度为b m，已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比，现有制箱材料60 m²，问当a,b各为多少时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小？（A、B孔的面积忽略不计）

Answer 1

思路分析：题意中的“杂质的质量分数”可按“杂质的含量”理解，设为y，由题意y与ab成反比，又设比例系数为k，则y=.又由于受箱体材料多少的限制，a,b之间应有一定的关系式，即2×(2b)+2ab+2a=60,因此该题的数学模型是：已知ab+a+2b=30,a＞0,b＞0,当y=最小时，求a,b的值.

解法一：设流出的水中杂质的质量分数为y，由题意

y=(k＞0)，其中k为比例系数.

又据题意设2×2b+2ab+2a=60(a＞0,b＞0)，

∴b=（由a＞0,b＞0,可得a＜30）.

∴y==.

令t=a+2,则a=t-2,

从而

=≤34-=18,

∴y=≥.

当且仅当t=64t,即t=8,

∴a=6时取“=”号.

由a=6,得b=3.

    综上所述，当a=6 m,b=3 m时，经沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小.

解法二：设流出的水中杂质的质量分数为y，依题意y=，其中k为比例系数，k＞0，要求y的最小值，必须求解ab的最大值.

题设4b+2ab+2a=60,即ab+2b+a=30(a＞0,b＞0),

∵a+2b≥(当且仅当a=2b时取“=”号)，

∴ab+≤30,可解得0＜ab≤18.

由a=2b,及ab+a+2b=30,可得a=6,b=3.

即a=6,b=3时，ab取最大值，从而y值最小.