Question

解不等式＞1(a∈R).

Answer 1

解：移项通分，得＞0，

即［(a－1)x－(a－2)］(x－2)＞0.

(1)当a－1=0即a=1时，上式可变为x－2＞0，∴x＞2.

(2)当a－1≠0，即a≠1时，

关于x的方程［(a－1)x－(a－2)］(x－2)=0的根为x₁=2，x₂=.

∵2－，∴当＞0时，有a＜0或a＞1，这时2＞；

当=0，即a=0时，2=；

当＜0，即0＜a＜1时，2＜.

故①当a－1＞0，即a＞1时，原不等式的解为x＞2或x＜.

②当a－1＜0，即a＜1时，

(i)当0＜a＜1时，原不等式的解为2＜x＜.

(ii)当a=0时，原不等式无解.

(iii)当a＜0时，原不等式的解为＜x＜2.

点评：一般地，任何一个分式不等式，都是通过移项、通分等一系列手段，把不等式的一边化为0，再转化为乘积不等式来解的，要注意二次项系数的正、负情况，分别对应两根之间，还是两根之外，还要注意不要丢掉二次项系数为0的情况.