Question

（2011•东城区一模）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为

1

2

，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若过点P（0，m）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且

AP

=3

PB

，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设条件知

c a = 1 2 a+c=3 a2=b2+c2

⇒

a=2 b= 3 c=1

，由此能求出椭圆方程． 
（Ⅱ）若过点P（0，m）的斜率不存在，则m=±

3

2

．若过点P（0，m）的直线斜率为k，即：m≠±

3

2

时，直线AB的方程为y-m=kx．由

y=kx+m 3x2+4y2=12

⇒(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0，△=64m²k²-4（3+4k²）（4m²-12）．因为AB和椭圆C交于不同两点，所以△＞0．由此能求出实数m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）设所求的椭圆方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)
由题意：

c a = 1 2 a+c=3 a2=b2+c2

⇒

a=2 b= 3 c=1

所求椭圆方程为：

x2

4

+

y2

3

=1．…（5分）
（Ⅱ）若过点P（0，m）的斜率不存在，则m=±

3

2

．
若过点P（0，m）的直线斜率为k，
即：m≠±

3

2

时，
直线AB的方程为y-m=kx
由

y=kx+m 3x2+4y2=12

⇒(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0，
△=64m²k²-4（3+4k²）（4m²-12），
因为AB和椭圆C交于不同两点，
所以△＞0，4k²-m²+3＞0，
所以4k²＞m²-3    ①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由已知

AP

=3

PB

，
则x1+x2=-

8km

3+4k2

，x1x2=

4m2-12

3+4k2

    ②

AP

=(-x1，m-y1)，

PB

=(x2，y2-m)-x₁=3x₂ ③
将③代入②得：-3(

4km

3+4k2

)2=

4m2-12

3+4k2

整理得：16m²k²-12k²+3m²-9=0
所以k2=

9-3m2

16m2-12

代入①式，
得4k2=

9-3m2

4m2-3

＞m2-3

4m2(m2-3)

4m2-3

＜0，
解得

3

4

＜m2＜3．
所以-

3

＜m＜-

3

2

或

3

2

＜m＜

3

．
综上可得，实数m的取值范围为：(-

3

，-

3

2

]∪[

3

2

，

3

)．…（14分）

点评：通过几何量的转化考查用待定系数法求曲线方程的能力，通过直线与圆锥曲线的位置关系处理，考查学生的运算能力．通过向量与几何问题的综合，考查学生分析转化问题的能力，探究研究问题的能力，并体现了合理消元，设而不解的代数变形的思想．