Question

已知数列{b_n}是等差数列，b₁=1,b₁+b₂+…+b₁₀=145.

(1)求数列{b_n}的通项公式b_n;

(2)设数列{a_n}的通项a_n=log_a(1+)(其中a＞0且a≠1)，记S_n是数列{a_n}的前n项和.试比较S_n与log_ab_n+1的大小，并证明你的结论.

Answer 1

(1)解：设数列{b_n}的公差为d,由题意得

∴b_n=3n-2.

(2)证明：由b_n=3n-2知

S_n=log_a(1+1)+log_a(1+)+…+log_a(1+)=log_a［(1+1)(1+)…+)］,

而log^ab_n+1=log_a,于是，比较S_n与log^ab_n+1的大小?比较(1+1)(1+)…(1+)与的大小.

取n=1，有(1+1)=；

取n=2，有(1+1)(1+）＞.

推测：(1+1)(1+)…(1+0＞①

(Ⅰ)当n=1时，已验证①式成立.

(Ⅱ)假设n=k(k≥1)时①式成立，即(1+1)(1+)…+)＞.

则当n=k+1时，(1+1)(1+)…(1+)［1+］＞(1+)

=.∵()³-()³

=＞0,

∴(3k+2)＞=.

从而(1+1)(1+)…(1+)(1+)＞，即当n=k+1时，①式成立.由(Ⅰ)(Ⅱ)知，①式对任意正整数n都成立.

于是，当a＞1时，S_n＞log_ab_n+1,当0＜a＜1时，S_n＜log_ab_n+1.