Question

设a_n（n=2，3，4…）是(3+

x

)n展开式中x的一次项的系数，则

2010

2009

(

32

a2

+

33

a3

+…+

32010

a2010

)的值是

18

．

Answer 1

分析：在(3+

x

)n展开式中令x的指数为1，得出一次项的系数即a_n=3^n-2C_n²，根据所求式子的结构特点，先化简

3n

an

=

32

C 2 n

=

18

n(n-1)

=18（

1

n-1

-

1

n

 ），再利用裂项求和法可以求出式子的值．

解答：解：(3+

x

)n展开式的通项为

C

r n

3n-r• (

x

)r=

3n-rC

r n

x

r

2

，令

r

2

=1，得r=2．展开式中x的一次项的系数为3^n-2C_n²，即a_n=3^n-2C_n²  （n≥2）．
我∴

3n

an

=

32

C 2 n

=

18

n(n-1)

=18（

1

n-1

-

1

n

），，∴

2010

2009

(

32

a2

+

33

a3

+…+

32010

a2010

)=

2010

2009

×18×（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…

1

2009

-

1

2010

）=18×

2010

2009

×(1-

1

2010

)=18×1=18
故答案为：18．

点评：本题考查二项式定理的应用、裂项法数列求和．考查转化、计算能力．得出

3n

an

=18（

1

n-1

-

1

n

 ）是关键．