Question

（2013•资阳模拟）已知函数f（x）=2lnx-x²+ax（a∈R）．
（Ⅰ）当a=2时，求f（x）的图象在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）-ax+m在[

1

e

，  e]上有两个零点，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）若对区间（1，2）内任意两个不等的实数x₁，x₂，不等式

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义，求f（x）的图象在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）根据函数g（x）=f（x）-ax+m在[

1

e

，  e]上有两个零点，将函数转化为求函数极大值和极小值之间的关系，进行求实数m的取值范围；
（Ⅲ）将不等式

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜2恒成立，问题转化为最值恒成立，构造函数，利用导数求实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=2lnx-x²+2x，f′(x)=

2

x

-2x+2，切点坐标为（1，1），
切线的斜率k=f'（1）=2，则切线方程为y-1=2（x-1），即y=2x-1．（2分）
（Ⅱ）g（x）=2lnx-x²+m，则g′(x)=

2

x

-2x=

-2(x+1)(x-1)

x

，
∵x∈[

1

e

，e]，故g'（x）=0时，x=1．
当

1

e

＜x＜1时，g'（x）＞0；
当1＜x＜e时，g'（x）＜0．
故g（x）在x=1处取得极大值g（1）=m-1．（4分）
又g(

1

e

)=m-2-

1

e2

，g（e）=m+2-e²，g(e)-g(

1

e

)=4-e2+

1

e2

＜0，则g(e)＜g(

1

e

)，
∴g（x）在[

1

e

，  e]上的最小值是g（e）．（6分）
g（x）在[

1

e

，  e]上有两个零点的条件是

g(1)=m-1＞0 g( 1 e )=m-2- 1 e2 ≤0

，
解得1＜m≤2+

1

e2

，
∴实数m的取值范围是(1，  2+

1

e2

]．（8分）
（Ⅲ）不妨设1＜x₁＜x₂＜2，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜2恒成立等价于f（x₂）-f（x₁）＜2（x₂-x₁），即f（x₁）-2x₁＞f（x₂）-2x₂．（10分） 
令u（x）=f（x）-2x，由x₁，x₂具有任意性知，u（x）在区间（1，2）内单调递减，
∴u'（x）=f'（x）-2＜0恒成立，即f'（x）＜2恒成立，（12分）
∴

2

x

-2x+a＜2，a＜2x-

2

x

+2在（1，2）上恒成立．
令h(x)=2x-

2

x

+2，则h′(x)=2+

2

x2

＞0，（13分）
∴h(x)=2x-

2

x

+2在（1，2）上单调递增，则h（x）＞h（1）=2，
∴实数a的取值范围是（-∞，2]．（14分）

点评：本题主要考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的性质，考查学生的运算能力，运算量较大，综合性较强，难度较大．