Question

设二次函数f（x）=x²-4x-1在区间[t，t+2]上的最小值为g（t），试求函数y=g（t）的最小值，并作出函数y=g（t）的图象，其中t∈R

Answer 1

分析：用配方法对解析式进行变形，求出对称轴后根据它与区间的位置关系，分三种情况t≥2、0＜t＜2和t≤0，利用二次函数在区间上的单调性求解．

解答：解：f（x）=x²-4x-1=（x-2）²-5，则对称轴x=2，分三种情况求解：
①当t≥2时，函数f（x）在区间[t，t+2]上是增函数，
∴最小值为g（t）=f（t）=t²-4t-1，
②当0＜t＜2时，对称轴在区间[t，t+2]内，
∴最小值为g（t）=-5，
③当t≤0时，函数f（x）在区间[t，t+2]上是减函数，
∴最小值为g（t）=f（t+2）=t²-5，
综上，g（t）=

t2-4t-1   t≥2 -5          0＜t＜2 t2-5        t≤0

，在坐标系中画出函数图象．

点评：本题考查了闭区间上的二次函数的最值问题，需讨论图象的对称轴与定义域间的关系，需用分类讨论法或图象求g（t）的最小值，即g（t）是关于t的分段函数；对于二次函数区间最值主要有三种类型，轴定区间定、轴定区间动和轴动区间定．