Question

已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M(1,2)，它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.

(1)求这三条曲线的方程.

(2)已知动直线l过点P(3,0)，交抛物线于A、B两点，是否存在垂直于x轴的直线l′被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l′的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：(1)设抛物线方程为y²=2px(p＞0),将M(1,2)代入方程得p=2.

    ∴抛物线方程为y²=4x.

    由题意知椭圆、双曲线的焦点为F₁(-1,0)、F₂(1,0),

    ∴c=1,c′=1.

    对于椭圆，2a=|MF₁|+|MF₂|=+=2+2.

    ∴a=1+.

    ∴a²=(1+)²=3+2.

    ∴b²=a²-c²=2+2.

    ∴椭圆方程为+ =1.

    对于双曲线,2a′=||MF₁|-|MF₂||=2-2,∴a′=-1.

    ∴a′²=3-2.

    又c′=1,∴b′²=c′²-a′²=2-2.

    ∴双曲线方程为-=1.

    (2)设AP的中点为C，l′的方程x=a，以AP为直径的圆交l′于D、E两点，DE中点为H.

    令A(x₁,y₁)，∴C(,).

    ∴|DC|=|AP|=,

    |CH|=|-a|=|(x₁-2a)+3|.

    ∴|DH|²=|DC|²-|CH|²

    =［(x₁-3)²+y₁²］-［(x₁-2a)+3］²

    =(a-2)x₁-a²+3a.

    当a=2时，|DH|²=-4+6=2为定值.

    ∴|DE|=2|DH|=2为定值.

    此时l′的方程为x=2.