Question

类比“二倍角的正、余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，f(x)=

ex-e-x

2

，g(x)=

ex+e-x

2

，给出以下两个式子
①f（2x）=2f（x）•g（x）；    ②g（2x）=[g（x）]²-[f（x）]²；
其中正确的是

①

．

Answer 1

分析：写出“二倍角的正弦公式”的形式，据此二倍角公式写出类比结论，最后再进行证明即可．

解答：解：∵“二倍角的正弦公式”的形式是：
sin2x=2sinxcosx，cos2x=cos²x-sin²x，
有类比结论：
设f(x)=

ex-e-x

2

，g(x)=

ex+e-x

2

，有①f（2x）=2f（x）•g（x）；    ②g（2x）=[g（x）]²-[f（x）]²；
其中①是正确的，证明如下：
∵f(x)=

ex-e-x

2

，g(x)=

ex+e-x

2

，
∴f（x）g（x）=

ex-e-x

2

×

ex+e-x

2

=

1

2

×

e2x-e-2x

2

=

1

2

f（2x）
∴f（2x）=2f（x）g（x）．
②是不正确的，∵证明如下：
由于g（2x）=

e2x+e-2x

2

，
[g（x）]²-[f（x）]²=(

ex+e-x

2

)2-(

ex-e-x

2

)2=1，
故②不正确．
故答案为：①．

点评：本题考查利用类比推理从形式上写出类比结论，写类比结论时：先找类比对象，再找类比元素．