题目内容

已知函数 $数学公式$ （a∈R，a为常数）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若f（x）在 $数学公式$ 上的最大值与最小值之和为 $数学公式$ ，求a的值．

解：（Ⅰ）∵ $\text{[math]}$ ，（4分）
∴T=2π．（5分）
（Ⅱ）∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ．（8分）
∴ $\text{[math]}$ （10分）
∴ $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ．（12分）
分析：化简函数 $\text{[math]}$ （a∈R，a为常数）．为一个角的一个三角函数的形式，
（Ⅰ）利用周期公式直接求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求出函数的在 $\text{[math]}$ 的最大值和最小值，令f（x）在 $\text{[math]}$ 上的最大值与最小值之和为 $\text{[math]}$ ，求出a的值．
点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，复合三角函数的单调性，考查计算能力，是基础题．

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如果f（x₀）是函数f（x）的一个极值，称点（x₀，f（x₀））是函数f（x）的一个极值点．已知函数f（x）=（ax-b）e

（x≠0且a≠0）
（1）若函数f（x）总存在有两个极值点A，B，求a，b所满足的关系；
（2）若函数f（x）有两个极值点A，B，且存在a∈R，求A，B在不等式|x|＜1表示的区域内时实数b的范围．
（3）若函数f（x）恰有一个驻点A，且存在a∈R，使A在不等式

表示的区域内，证明：0≤b＜1．

已知函数f（x）=

x²-3x+（a-1）lnx，g（x）=ax，h（x）=f（x）-g（x）+3x，其中a∈R且a＞1．
（I）求函数f（x）的导函数f′（x）的最小值；
（II）当a=3时，求函数h（x）的单调区间及极值；
（III）若对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，函数h（x）满足

，求实数a的取值范围．

已知函数g（x）=（a+1）x，h（x）=x²+lg|a+2|，f（x）=g（x）+h（x），其中a∈R且a≠-2．
（1）若f（x）为偶函数，求a的值；
（2）命题p：函数f（x）在区间[（a+1）²，+∞）上是增函数，命题q：函数g（x）是减函数，如果p或q为真，p且q为假，求a的取值范围．
（3）在（2）的条件下，比较f（2）与3-lg2的大小．

已知函数f（x）=

x²-3x+（a-1）lnx，g（x）=ax，h（x）=f（x）-g（x）+3x，其中a∈R且a＞1．
（I）求函数f（x）的导函数f′（x）的最小值；
（II）当a=3时，求函数h（x0的单调区间及极值；
（III）若对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，函数h（x）满足

＞-1，求实数a的取值范围．

（a∈R且a≠0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）记函数y=F（x）的图象为曲线C．设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是曲线C上的不同两点，如果在曲线C上存在点M（x，y），使得：①

；②曲线C在M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值相依切线”．
试问：函数f（x）是否存在“中值相依切线”，请说明理由．