题目内容

已知函数f(x)=
1
2
x2-3x+(a-1)lnx,g(x)=ax,h(x)=f(x)-g(x)+3x,其中a∈R且a>1.
(I)求函数f(x)的导函数f′(x)的最小值;
(II)当a=3时,求函数h(x)的单调区间及极值;
(III)若对任意的x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,函数h(x)满足
h(x1)-h(x2)
x1-x2
,求实数a的取值范围.
分析:(I)由f(x)=
1
2
x2-3x+(a-1)lnx,知f(x)=x-3+
a-1
x
=x+
a-1
x
-3,x>0,由此能求出导函数f′(x)的最小值.
(II)当a=3时,h(x)=
1
2
x2+2lnx-3x
h(x)=x+
2
x
-3
=
(x-1)(x-2)
x
,由此列表讨论能求出函数h(x)的单调区间及极值.
(III)由题意,h(x)=
1
2
x2+(a-1)lnx-ax
,(a>1).设x1<x2,由
h(x1)-h(x2)
x1-x2
>-1,得h(x1)+x1<h(x2)+x2,构造函数F(x)h(x)+x=
1
2
x2+(a-1)x-ax+x
,由此能求出实数a的取值范围.
解答:解:(I)∵f(x)=
1
2
x2-3x+(a-1)lnx,
f(x)=x-3+
a-1
x
=x+
a-1
x
-3,x>0,
∵a>1,∴a-1>0,
又∵x>0,∴x+
a-1
x
-3≥2
a-1
-3,
当且仅当x=
a-1
时,取等号,其最小值为2
a-1
-3

(II)当a=3时,h(x)=
1
2
x2+2lnx-3x

h(x)=x+
2
x
-3
=
(x-1)(x-2)
x

x,h′(x),h(x)的变化如下表:
x (0,1) 1 (1,2) 2 (2,+∞)
h′(x) + 0 - 0 +
h(x) -
5
2
2ln2-4
所以,函数h(x)的单调增区间是(0,1),(2,+∞);单调减区间是(1,2).…(7分)
函数h(x)在x=1处取得极大值-
5
2
,在x=2处取得极小值2ln2-4.…(8分)
(III)由题意,h(x)=
1
2
x2+(a-1)lnx-ax
,(a>1).
不妨设x1<x2,则由
h(x1)-h(x2)
x1-x2
>-1,
得h(x1)+x1<h(x2)+x2
令F(x)h(x)+x=
1
2
x2+(a-1)x-ax+x

则函数F(x)在(0,+∞)单调递增,
F(x)=x-(a-1)+
a-1
x

=
x2-(a-1)x+a-1
x
≥0
在(0,+∞)恒成立,
∵G(0)=a-1>0,
a-1
2
>0

∴只需△=(a-1)2-4(a-1)≤0,
解得1<a<5,
∴实数a的取值范围是(1,5).
点评:本题考查函数的最小值的求法,考查函数的单调区间和极值,考查实数的取值范围的求法.解题时要认真审题,注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用.
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