Question

定义数列如下：a₁=2，a_n+1=a_n²-a_n+1，n∈N^*．证明：
（1）当n＞2，且n∈N^*时，有a_n+1=a_n•a_n-1•…•a₂•a₁+1成立；
（2）1-

1

22010

＜

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2010

＜1．

Answer 1

分析：（1）先由条件得：a_n+1-1=a_n（a_n-1）再变形得a_n-1=a_n-1（a_n-1-1）最后将n从2到n+1累加即得；
（2）由（1）得

1

an

=

1

an-1

-

1

an+1-1

，从而利用拆项相消法，将n从1到2006取值后相加，最后利用放缩法即可证得．

解答：解：（1）由a_n+1=a_n²-a_n+1得：a_n+1-1=a_n（a_n-1）
∴a_n-1=a_n-1（a_n-1-1）
a₂-1=a₁（a₁-1）
累加得：a_n+1-1=a_na_n-1a₁（a₁-1）
又a₁=2，则a_n+1=a_na_n-1a₁+1．

（2）∵a_n+1-1=a_n（a_n-1）∴

1

an+1-1

=

1

an-1

-

1

an

∴

1

an

=

1

an-1

-

1

an+1-1

∴

1

a1

+

1

a2

++

1

a2006

=(

1

a1-1

-

1

a2-1

)+(

1

a2-1

-

1

a3-1

)+

1

a1

+

1

a2

++(

1

a2006-1

-

1

a2007-1

)=1-

1

a1a2a2006

＜1．

点评：本题主要考查了用数学归纳法证明不等式，以及用拆项法证明不等式，属于基础题．数学归纳法是重要的数学思想方法，是证明与正整数有关的命题的一种有效方法．特别是“试验-猜想-证明”的解题途径又是进行研究性学习的最好方法之一．