题目内容

已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=
2
2
，在椭圆E上存在A，B两点关于直线l：y=x+1对称．
（Ⅰ）现给出下列三个条件：①直线AB恰好经过椭圆E的一个焦点；②椭圆E的右焦点F到直线l的距离为2
2
；③椭圆E的左、右焦点到直线l的距离之比为
1
2
．
试从中选择一个条件以确定椭圆E，并求出它的方程；（注：只需选择一个方案答题，如果用多种方案答题，则按第一种方案给分）
（Ⅱ）若以AB为直径的圆恰好经过椭圆E的上顶点S，求b的值．
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（Ⅰ）选择条件②，∵椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=
2
2
，
∴
c
a
=
2
2
，椭圆的右焦点坐标为（c，0）
∵右焦点F到直线l的距离为2
2
，
∴
|c+1|
2
=2
2
，
∴c=3，a=3
2

∵a2=b2+c2，
∴b2=9
∴椭圆E的方程为
x2
18
+
y2
9
=1
（Ⅱ）∵离心率e=
2
2

∴a2=2b2
∵A，B两点关于直线l：y=x+1对称，
∴直线AB的斜率为-1，设直线AB的方程为y=-x+m，代入椭圆方程
x2
2b2
+
y2
b2
=1得：（3b2）x2-4mb2x+2b2m2-2b4=0
∴△＞0时，x1+x2=
4m
3
，x1x2=
2 (m2-b2)
3

依题意，设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵椭圆E上存在A，B两点关于直线l：y=x+1对称，
∴AB的中点（
x1+x2
2
，
y1+y2
2
）在直线：y=x+1上
∵
x1+x2
2
=
2m
3
，
y1+y2
2
=
-(x1+x2)+2m
2
=
m
3
，
∴m=-3
∵椭圆E的上顶点S（0，b），以AB为直径的圆恰好经过椭圆E的上顶点S，即AS⊥BS，即
AS
•
BS
=0，即（-x1，b-y1）•（-x2，b-y2）=0
∴x1x2+（b-y1）（b-y2）=x1x2+y1y2-b（y1+y2）+b2=2x1x2+（b+3）（x1+x2）+9+6b+b2=0
∴
4(9-b2)
3
-4（b+3））+9+6b+b2=0，解得b=9，b=-3（舍去）
∴b=9
练习册系列答案
相关题目
如图，已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），焦点为F1、F2，双曲线G：x2-y2=m（m＞0）的顶点是该椭圆的焦点，设P是双曲线G上异于顶点的任一点，直线PF1、PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，已知三角形ABF2的周长等于8
2
，椭圆四个顶点组成的菱形的面积为8
2
．
（1）求椭圆E与双曲线G的方程；
（2）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1和k2，探求k1和k2的关系；
（3）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．
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已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），以F1（-c，0）为圆心，以a-c为半径作圆F1，过点B2（0，b）作圆F1的两条切线，设切点为M、N．
（1）若过两个切点M、N的直线恰好经过点B1（0，-b）时，求此椭圆的离心率；
（2）若直线MN的斜率为-1，且原点到直线MN的距离为4（
2
-1），求此时的椭圆方程；
（3）是否存在椭圆E，使得直线MN的斜率k在区间（-
2
2
，-
3
3
）内取值？若存在，求出椭圆E的离心率e的取值范围；若不存在，请说明理由．
已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
3
=1（a＞
3
）的离心率e=
1
2
．直线x=t（t＞0）与曲线 E交于不同的两点M，N，以线段MN 为直径作圆 C，圆心为 C．
 （1）求椭圆E的方程；
 （2）若圆C与y轴相交于不同的两点A，B，求△ABC的面积的最大值．
（2012•佛山二模）已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一个交点为F1(-
3
，0)，而且过点H(
3
，
1
2
)．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设椭圆E的上下顶点分别为A1，A2，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，直线PA1，PA2分别交x轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．
已知椭圆E：
x2
a2
+y2=1（a＞1）的离心率e=
3
2
，直线x=2t（t＞0）与椭圆E交于不同的两点M、N，以线段MN为直径作圆C，圆心为C
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）当圆C与y轴相切的时候，求t的值；
（Ⅲ）若O为坐标原点，求△OMN面积的最大值．

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