Question

【题目】已知四棱锥，底面为菱形， 为上的点，过的平面分别交于点，且平面．

（1）证明： ；

（2）当为的中点， ， 与平面所成的角为，求平面AMHN与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2) .

【解析】试题分析：

（1）连交于点，连，则得，进而可得平面，于是．由线面平行的性质可得，所以得．（2）由条件可得两两垂直，建立空间直角坐标系，然后分别求出平面AMHN与平面ABCD的法向量，通过两法向量的夹角的余弦值可得所求．

试题解析：

（1）证明：连交于点，连．

因为四边形为菱形，

所以，且为、的中点．

因为，

所以，

又且平面，

所以平面，

因为平面，

所以．

因为平面， 平面，平面平面，

所以，

所以．

（2）由（1）知且，

因为，且为的中点，

所以，

又，

所以平面，

所以与平面所成的角为，

所以，

因为，

所以．

分别以为轴，建立如图所示空间直角坐标系．

设，则

，

所以

设平面的法向量为，

则，令，得．

由题意可得平面的法向量为，

所以．

所以平面AMHN与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为．