Question

【题目】如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，垂直于底面，.

（1）求证；　

（2）求平面与平面所成二面角的大小；

（3）设棱的中点为，求异面直线与所成角的大小.

Answer 1

【答案】（1）证明见详解；（2）；（3）

【解析】

（1）先证面，从而得到；

（2）由（1）中的线面垂直，可知所求二面角的平面角为，利用为等腰直角三角形，可求的大小；

（3）取中点，连接，从而或其补角是异面直线与所成角，分别计算的长度后可得，从而得到：.

解：（1）证明：底面是正方形，，

底面，底面，

，

又，面，

面，

；

（2）由（1）知，又，

为所求二面角的平面角，

在中，由可知，是等腰直角三角形，

，

即平面与平面所成二面角为；

（3）取中点，连接，

在中，由中位线定理得，

或其补角是异面直线与所成角，

，，

又，

，

在中，有，

，即异面直线与所成角为.