Question

（2013•滨州一模）已知函数f（x）=1n（x-1）-k（x-1）+1
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；
（3）证明：

1n2

3

+

1n3

4

+

1n4

5

+…

1nn

n+1

＜

n(n-1)

4

(n∈N*且n＞1）

Answer 1

分析：（1）由f（x）=1n（x-1）-k（x-1）+1，知x＞1，f′(x)=

1

x-1

-k，由此能求出f（x）的单调区间．
（2）由f（x）≤0恒成立，知?x＞1，ln（x-1）≤k（x-1）-1，故k＞0．f（x）_max=f（1+

1

k

）=ln

1

k

≤0，由此能求出实数k的取值范围．
（3）令k=1，能够推导出lnx≤x-1对x∈（0，+∞）恒成立．取x=n²，得到

lnn

n+1

≤

n-1

2

，n≥2，由此能够证明

1n2

3

+

1n3

4

+

1n4

5

+…

1nn

n+1

＜

n(n-1)

4

(n∈N*且n＞1）．

解答：解：（1）∵f（x）=1n（x-1）-k（x-1）+1，
∴x＞1，f′(x)=

1

x-1

-k，
∵x＞1，∴当k≤1时，f′(x)=

1

x-1

-k＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函数；
当k＞0时，f（x）在（1，1+

1

k

）上是增函数，在（1+

1

k

，+∞）上为减函数．
（2）∵f（x）≤0恒成立，
∴?x＞1，ln（x-1）-k（x1）+1≤0，
∴?x＞1，ln（x-1）≤k（x-1）-1，
∴k＞0．
由（1）知，f（x）_max=f（1+

1

k

）=ln

1

k

≤0，
解得k≥1．
故实数k的取值范围是[1，+∞）．
（3）令k=1，则由（2）知：ln（x-1）≤x-2对x∈（1，+∞）恒成立，
即lnx≤x-1对x∈（0，+∞）恒成立．
取x=n²，则2lnn≤n²-1，
即

lnn

n+1

≤

n-1

2

，n≥2，
∴

1n2

3

+

1n3

4

+

1n4

5

+…

1nn

n+1

＜

n(n-1)

4

(n∈N*且n＞1）．

点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，考查不等式的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．