Question

已知函数f（x）=x³+3ax²+（3-6a）x+12a-4（a∈R）
（Ⅰ）证明：曲线y=f（x）在x=0的切线过点（2，2）；
（Ⅱ）若f（x）在x=x₀处取得极小值，x₀∈（1，3），求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函数f（x）在x=0处的导数和f（0）的值，结合直线方程的点斜式方程，可求切线方程；
（Ⅱ）f（x）在x=x₀处取得最小值必是函数的极小值，可以先通过讨论导数的零点存在性，得出函数有极小值的a的大致取值范围，然后通过极小值对应的x₀∈（1，3），解关于a的不等式，从而得出取值范围

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3x²+6ax+3-6a
由f（0）=12a-4，f′（0）=3-6a，
可得曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为y=（3-6a）x+12a-4，
当x=2时，y=2（3-6a）+12a-4=2，可得点（2，2）在切线上
∴曲线y=f（x）在x=0的切线过点（2，2）
（Ⅱ）由f′（x）=0得  
x²+2ax+1-2a=0…（1）
方程（1）的根的判别式
△=4a2-4(1-2a)=4(a+1+

2

) (a+1-

2

)
①当-

2

-1≤a≤

2

-1时，函数f（x）没有极小值
②当a＜-

2

-1或a＞

2

-1时，
由f′（x）=0得x1=-a- 

a2+2a-1

，x2=-a+ 

a2+2a-1

故x₀=x₂，由题设可知1＜-a+

a2+2a-1

＜3
（i）当a＞

2

-1时，不等式1＜-a+

a2+2a-1

＜3没有实数解；
（ii）当a＜-

2

-1时，不等式1＜-a+

a2+2a-1

＜3
化为a+1＜

a2+2a-1

＜a+3，
解得-

5

2

＜a＜ -

2

-1
综合①②，得a的取值范围是(-

5

2

，-

2

-1)

点评：将字母a看成常数，讨论关于x的三次多项式函数的极值点，是解决本题的难点，本题中处理关于a的无理不等式，计算也比较繁，因此本题对能力的要求比较高．