Question

【题目】已知函数（）在处取得极值．

（1）求的单调区间；

（2）讨论的零点个数，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）见解析

【解析】分析：（1）由题意可得， 则．据此可知的单调递增区间为，单调递减区间为．

（2）由（1）知在处取得最大值． 分类讨论有：①当时，无零点． ②当时，有一个零点． ③当时，有两个零点．

详解：（1）因为，

又，即，解得．

令，即，解得；

令，即，解得．

所以的单调递增区间为，单调递减区间为．

（2）由（1）知在处取得最大值．

①当即时，，所以无零点．

②当即时，当且仅当时，，

所以有一个零点．

③当即时，，

因为，且，

又在上单调递增，所以在上有且只有一个零点．

因为，且，

令，则，

所以在上单调递减，所以，所以．

又在上单调递减，所以在上有且只有一个零点．

故当时，有两个零点．