题目内容

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，
（1）若点（n，S_n）均在函数y=f（x）的图象上，且f（x）=3x²-2x，求{a_n}的通项公式；
（2）若a₁=a₂=1，且 $数学公式$ =λ $数学公式$ （0＜λ＜1，n=2，3，4…），证明： $数学公式$ ＜ $数学公式$ （常数k∈N^*且k≥3）

解：（1）由题得：s_n=3n²-2n．
故当n=1时，a₁=s₁=1
当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=6n-5
由于当n=1时，6n-5=1也成立
所以a_n=6n-5
（2）令 $\text{[math]}$ ，由已知有 b₁=1，b_n=λb_n-1
所以{b_n}是等比数列，b_n=λ^n-1 即 $\text{[math]}$ =λ^n-1．
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴a_n= $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ •[λ^k+λ^2k+…+λ^nk]
= $\text{[math]}$ •（1-λ^nk）• $\text{[math]}$ ．
∵0＜λ＜1，k≥3
∴0＜1-λ^nk＜1，0＜ $\text{[math]}$ ≤1，0＜ $\text{[math]}$ •（1-λ^nk）＜1
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ •（1-λ^nk）• $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ．
即结论成立．
分析：（1）先利用点（n，S_n）均在函数y=f（x）的图象上，且f（x）=3x²-2x，求出数列{a_n}的前n项和为S_n；再利用已知前n项和求通项公式的方法即可求{a_n}的通项公式；
（2）先利用 $\text{[math]}$ =λ $\text{[math]}$ 求得 $\text{[math]}$ =λ^n-1；再利用叠乘法求得数列{a_n}的通项公式；代入所求问题整理后再借助于0＜λ＜1以及常数k∈N^*且k≥3即可证明结论．
点评：本题主要考查数列递推式以及数列与不等式的综合问题．解决第二问的关键在于利用叠乘法求得数列{a_n}的通项公式．