Question

已知直线l₁过点B（0，-6）且与直线2x-3λy=0平行，直线l₂经过定点A（0，6）且斜率为-

2λ

3

，直线l₁与l₂相交于点P，其中λ∈R，
（1）当λ=1时，求点P的坐标．
（2）试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值，若存在，求出E、F的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）当λ=1时，根据条件分别写出两直线的方程，联立即可求得点P的坐标．
（2）由条件可得KPB×KPA=-

4

9

，由课本椭圆一节的例题可知，点P的轨迹是一个椭圆，求出其方程，再求出其焦点，即选为点E、F，则可满足条件．

解答：解：（1）当λ=1时，直线2x-3λy=0即2x--3y=0，
∵l₁与此直线平行，∴可设直线l₁的方程为2x-3y+c=0，
又直线l₁过点B（0，-6），将其代入得0-3×（-6）+c=0，解得c=-18．∴直线l₁的方程为 2x-3y-18=0．
∵直线l₂经过定点A（0，6）且斜率为-

2λ

3

，即-

2

3

，∴直线l₂的方程为y-6=-

2

3

x，即2x+3y-18=0．
联立

2x-3y-18=0 2x+3y-18=0

 解得

x=9 y=0

．即点P（9，0）．
（2）∵直线l₁与直线2x-3λy=0平行，∴当λ≠0时，直线l₁的斜率为

2

3λ

，
而直线l₂斜率为-

2λ

3

，又

2

3λ

×(-

2λ

3

)=-

4

9

．
设点P（x，y），则KPB×KPA=-

4

9

，于是

y+6

x

×

y-6

x

=-

4

9

（x≠0），化为

x2

81

+

y2

36

=1（x≠0）．
当λ=0时，直线l₁即为y轴，直线l₂即为y=6，
∴二直线交于点（0，6），
∴点P的轨迹为椭圆

x2

81

+

y2

36

=1（去掉点（0，-6））．
综上可知：取点E（3

5

，0），F（-3

5

，0），则满足|PE|+|PF|为定值．

点评：本题考查了直线与直线平行及相交以及椭圆的定义，理解和掌握以上知识与解题方法是解此题的关键．