Question

9．已知函数f（x）满足：①f（x）=2f（x+2），x∈R；②f（x）=lnx+ax，x∈（0，2）；③f（x）在（-4，-2）内能取得最大值-4．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）设函数g（x）=$\frac{1}{3}$bx³-bx，若对任意的x₁∈（1，2）总存在x₂∈（1，2）使得f（x₁）=g（x₂），求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的表达式，得到f（x）的导数，得到$\frac{4}{x+4}$+4a=0在（-4，-2）内必有解，求出f（x）的最大值，从而求出a的值即可；
（Ⅱ）设出f（x）和g（x）的值域，求出f（x）的值域，通过讨论b的范围，求出g（x）的值域，根据集合的包含关系，解关于b的不等式，求出b的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）当x∈（-4，-2）时，有x+4∈（0，2），
由条件②得：f（x+4）=ln（x+4）+a（x+4），
再由条件①得：f（x）=2f（x+2）=4f（x+4）=4ln（x+4）+4a（x+4），
故f′（x）=$\frac{4}{x+4}$+4a，x∈（-4，-2），
由③，f（x）在（-4，-2）内有最大值，
方程f′（x）=0，即$\frac{4}{x+4}$+4a=0在（-4，-2）内必有解，
故a≠0，且解为x=-$\frac{1}{a}$-4，又最大值为-4，
∴f（x）_max=f（-$\frac{1}{a}$-4）=4ln（-$\frac{1}{4}$）+4a（-$\frac{1}{a}$）=-4，
即ln（-$\frac{1}{a}$）=0，∴a=-1；
（Ⅱ）设f（x）在（1，2）的值域是A，g（x）在（1，2）内的值域是B，
由条件可得：A⊆B，
由（1）得：当x∈（1，2）时，f（x）=lnx-x，f′（x）=$\frac{1-x}{x}$＜0，
故f（x）在（1，2）内为减函数，
∴A=（f（2），f（1））=（ln2-2，-1），
对g（x）求导得：g′（x）=b（x-1）（x+1），
若b＜0，则当x∈（1，2）时，g′（x）＜0，g（x）递减，
∴B=（g（2），g（1））=（$\frac{2}{3}$b，-$\frac{2}{3}$b），
由A⊆B，得：$\frac{2}{3}$b≤ln2-2，-$\frac{2}{3}$b≥-1，
故必有b≤$\frac{3}{2}$ln2-3，
若b＞0时，则当x∈（1，2）时，g′（x）＞0，g（x）递增，
∴B=（g（1），g（2））=（-$\frac{2}{3}$b，$\frac{2}{3}$b），
由A⊆B，得：-$\frac{2}{3}$b≤ln2-2，$\frac{2}{3}$b≥-1，故必有b≥3-$\frac{3}{2}$ln2，
若b=0，则B={0}，此时，A⊆B不成立，
综上，b的范围是（-∞，$\frac{3}{2}$ln2-3]∪[3-$\frac{3}{2}$ln2，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及集合的包含关系，是一道中档题．