题目内容

已知函数f（x）=a•b^x的图象过点A（0， $数学公式$ ），B（2， $数学公式$ ）．
（I）求函数f（x）的表达式；
（II）设a_n=log₂f（n），n∈N^*，S_n是数列{a_n}的前n项和，求S_n；
（III）在（II）的条件下，若b_n=a_n $数学公式$ ，求数列{b_n}的前n项和T_n．

解：（I）∵函数f（x）=a•b^x的图象过点
A（0， $\text{[math]}$ ），B（2， $\text{[math]}$ ）
∴ $\text{[math]}$ 解得：a= $\text{[math]}$ ，b=2，∴f（x）=2^x-4
（II）a_n=log₂^f（n）= $\text{[math]}$ =n-4
∴{a_n}是首项为-3，公差为1的等差数列
∴S_n=-3n+ $\text{[math]}$ n（n-1）= $\text{[math]}$ n（n-7）；
（III）b_n=a_n $\text{[math]}$ =（n-4） $\text{[math]}$
T_n=-3× $\text{[math]}$ +（-2）× $\text{[math]}$ +…+（n-4）× $\text{[math]}$ ①
$\text{[math]}$ =-3× $\text{[math]}$ +（-2）× $\text{[math]}$ +…+（n-4）× $\text{[math]}$ ②
①-②，得： $\text{[math]}$ T_n=-3× $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ -（n-4）× $\text{[math]}$
∴T_n=-2-（n-2） $\text{[math]}$ ．
分析：（I）因为A和B在函数图象上代入求出a，b即可得到f（x）的解析式；
（II）求得a_n=log₂f（n）=n-4，得到a_n为首项为-3，公差为1的等差数列，则S_n是数列的前n项和，利用等差数列的求和公式得到即可；
（III）在（II）的条件下，若b_n=a_n $\text{[math]}$ =（n-4） $\text{[math]}$ ，所以得到T_n，求出其一半，利用错位相减法得到即可．
点评：考查学生利用待定系数法求函数解析式的能力，以及等差数列前n项和公式的运用能力，用错位相减法求数列之和的能力．