Question

如图，平面内有三个向量：

OA

=

a

、

OB

=

b

、

OC

=

c

，其中

a

与

c

的夹角为30°，

a

与

b

的夹角为120°，

b

⊥

c

，并且|

a

|=|

b

|=1，|

c

|=2

3

，

c

=m•

a

+n•

b

，(m，n∈R)．求：m，n的值．

Answer 1

分析：由题设条件，本题是一个根据利用向量运算求参数题，可通过构建方程求m，b的值，由题意其中

a

与

c

的夹角为30°，

a

与

b

的夹角为120°，

b

⊥

c

，可对

c

=m•

a

+n•

b

两边分别点乘向量

c

消去n求得m，再将m的值代回，得到

c

=4•

a

+n•

b

，然后两边点乘

b

得到n的方程求出n的值

解答：解：由题意得：

a

•

c

=3，

a

•

b

=-

1

2

c

•

b

=0
由

c

=m

a

+n

b

得

c

2=m

a

•

c

+n

b

•

c

即12=m×2

3

×

3

2

，解得m=4
同理，

c

=4•

a

+n•

b

得

c

•

b

=4

a

•

b

+n

b

2
即0=4×（-

1

2

）+n，得n=2
综上，m=4，n=2

点评：本题考查平面向量数量积的运算，解题的关键是理解题意，通过对向量方程两边点乘不同的向量得到m，n的方程从而求得两个参数的值，本题采用两边点乘向量的技巧得到参数的方程，是向量中独有的运算方式，注意总结其变形原理