Question

设集合A中不含有元素-1，0，1，且满足条件：若a∈A，则有

1+a

1-a

∈A，请考虑以下问题：
（1）已知2∈A，求出A中其它所有元素；
（2）自己设计一个实数属于A，再求出A中其它所有元素；
（3）根据已知条件和前面（1）（2）你能悟出什么道理来，并证明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）由题中条件：集合A中不含有元素-1，0，1，且满足条件：若a∈A，则有

1+a

1-a

∈A，得集合A中元素为2，-3，-

1

2

，

1

3

；
（2）任取一常数，如3∈A，同（1）可得A={3，-2，-

1

3

，

1

2

}；
（3）由（1）（2）猜想，A={a，

1+a

1-a

，-

1

a

，

a-1

a+1

}，给出证明即可．

解答：解：（1）∵2∈A，由题中条件：集合A中不含有元素-1，0，1，且满足条件：若a∈A，则有

1+a

1-a

∈A，得

1+2

1-2

=-3∈A．
∵-3∈A，∴

1-3

1+3

=-

1

2

∈A．∵-

1

2

∈A，∴

1- 1 2

1+ 1 2

=

1

3

∈A．∵

1

3

∈A，∴

1+ 1 3

1- 1 3

=2∈A．
∴集合A={2，-3，-

1

2

，

1

3

}．
（2）任取一常数，如3∈A，则同理（1）可得：集合A={3，-2，-

1

3

，

1

2

}．
（3）由（1）（2）猜想：任意的常数a∈A（a≠±1，a≠0），则集合A={a，

1+a

1-a

，-

1

a

，

a-1

a+1

}．
证明：∵a∈A，∴

1+a

1-a

∈A，∴

1+ 1+a 1-a

1- 1+a 1-a

=-

1

a

，
∴

1- 1 a

1+ 1 a

=

a-1

a+1

∈A，∴

1+ a-1 a+1

1- a-1 a+1

=a∈A．
如果其中任两元素相等，则a=±1或a=0，故这四个元素不等（集合中元素的互异性）．

点评：本题考查元素与集合的关系，属于基础题．关键是审题时要注意：集合A中不含有元素-1，0，1，且满足条件：若a∈A，则有

1+a

1-a

∈A，得集合A={a，

1+a

1-a

，-

1

a

，

a-1

a+1

}．