Question

设集合A中不含有元素-1，0，1，且满足条件：若a∈A，则有，请考虑以下问题：
（1）已知2∈A，求出A中其它所有元素；
（2）自己设计一个实数属于A，再求出A中其它所有元素；
（3）根据已知条件和前面（1）（2）你能悟出什么道理来，并证明你的猜想．

Answer 1

解：（1）∵2∈A，由题中条件：集合A中不含有元素-1，0，1，且满足条件：若a∈A，则有，得．
∵-3∈A，∴．∵，∴．∵，∴．
∴集合A={2，-3，，}．
（2）任取一常数，如3∈A，则同理（1）可得：集合A={3，-2，，}．
（3）由（1）（2）猜想：任意的常数a∈A（a≠±1，a≠0），则集合A={a，，，}．
证明：∵a∈A，∴，∴，
∴，∴．
如果其中任两元素相等，则a=±1或a=0，故这四个元素不等（集合中元素的互异性）．
分析：（1）由题中条件：集合A中不含有元素-1，0，1，且满足条件：若a∈A，则有，得集合A中元素为2，-3，，；
（2）任取一常数，如3∈A，同（1）可得A={3，-2，-，}；
（3）由（1）（2）猜想，A={a，，，}，给出证明即可．
点评：本题考查元素与集合的关系，属于基础题．关键是审题时要注意：集合A中不含有元素-1，0，1，且满足条件：若a∈A，则有，得集合A={a，，，}．