Question

（2013•肇庆一模）已知S_n是数列{a_n}的前n项和，且a₁=1，nan+1=2Sn(n∈N*)．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）求数列{a_n}的通项a_n；
（3）设数列{b_n}满足bn=

2

(n+2)an

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）在nan+1=2Sn(n∈N*)中，分别令n=1、2、3即可求得a₂，a₃，a₄的值；
（2）累乘法：n＞1时，由na_n+1=2S_n①，得（n-1）a_n=2S_n-1②，①-②化简得na_n+1=（n+1）a_n，即

an+1

an

=

n+1

n

（n＞1），则an=a2×

a3

a2

×

a4

a3

×…×

an

an-1

，由此可得a_n=n（n＞1），注意验证a₁；
（3）裂项相消法：由（2）可求得bn=

2

(n+2)n

=

1

n

-

1

n+2

，各项按此规律展开即可求得T_n；

解答：解：（1）由a1=1，nan+1=2Sn(n∈N*)得，a₂=2a₁=2，2a₃=2S₂，则a₃=a₁+a₂=3，
由3a₄=2S₃=2（a₁+a₂+a₃），得a₄=4；
（2）当n＞1时，由na_n+1=2S_n①，得（n-1）a_n=2S_n-1②，
①-②得na_n+1-（n-1）a_n=2（S_n-S_n-1），化简得na_n+1=（n+1）a_n，
∴

an+1

an

=

n+1

n

（n＞1）．
∴a₂=2，

a3

a2

=

3

2

，…，

an

an-1

=

n

n-1

，
以上（n-1）个式子相乘得an=2×

3

2

×…×

n

n-1

=n（n＞1），
又a₁=1，∴an=n(n∈N*)；
（3）∵bn=

2

(n+2)an

=

2

(n+2)n

=

1

n

-

1

n+2

，
∴Tn=

1

1

-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n-2

-

1

n

+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

=1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

=

3

2

-

2n+3

(n+1)(n+2)

．

点评：本题考查由数列递推式求通项公式、数列求和等知识，若数列{a_n}满足：

an+1

an

=f（n），则往往利用累乘法求a_n；若{a_n}为等差数列，公差d≠0，则数列{

1

anan+1

}的前n项和用裂项相消法求解，其中

1

anan+1

=

1

d

(

1

an

-

1

an+1

)．