Question

（2013•肇庆一模）已知函数f（x）=Asin（4x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）在x=

π

16

时取得最大值2．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的解析式；
（3）若α∈[-

π

2

，0]，f(

1

4

α+

π

16

)=

6

5

，求sin(2α-

π

4

)的值．

Answer 1

分析：（1）根据函数表达得ω=4，结合三角函数的周期公式即可得出f（x）的最小正周期的值；
（2）由函数f（x）在x=

π

16

时取得最大值2，得

π

4

+φ=

π

2

+2kπ（k∈Z），结合0＜φ＜π取k=0得φ=

π

4

，从而得到f（x）的解析式；
（3）由（2）求出的解析式代入

1

4

α+

π

16

，结合诱导公式化简得cosα=

3

5

，由同角三角函数的关系结合α∈[-

π

2

，0]算出sinα=-

4

5

，用二倍角的三角公式算出sin2α、cos2α之值，代入sin(2α-

π

4

)的展开式，即可得到sin(2α-

π

4

)的值．

解答：解：（1）∵函数表达式为：f（x）=Asin（4x+φ），
∴ω=4，可得f（x）的最小正周期为T=

2π

ω

=

π

2

（2分）
（2）∵f（x）在x=

π

16

时取得最大值2，
∴A=2，且x=

π

16

时4x+φ=

π

2

+2kπ（k∈Z），即

π

4

+φ=

π

2

+2kπ（k∈Z），（4分）
∵0＜φ＜π，∴取k=0，得φ=

π

4

（5分）
∴f（x）的解析式是f(x)=2sin(4x+

π

4

)；（6分）
（3）由（2）得f(

1

4

α+

π

16

)=2sin[4(

1

4

α+

π

16

)+

π

4

]=

6

5

，
即sin(α+

π

2

)=

3

5

，可得cosα=

3

5

，（7分）
∵α∈[-

π

2

，0]，∴sinα=-

1-cos2α

=-

1-( 3 5 )2

=-

4

5

，（8分）
∴sin2α=2sinαcosα=2×(-

4

5

)×

3

5

=-

24

25

，（9分）
cos2α=2cos2α-1=2×(

3

5

)2-1=-

7

25

，（10分）
∴sin(2α-

π

4

)=sin2αcos

π

4

-cos2αsin

π

4

=-

24

25

×

2

2

+

7

25

×

2

2

=-

17 2

50

．（12分）

点评：本题给出y=Asin（ωx+φ）中的部分参数，根据函数的最大值及其相应的x值求函数的表达式，并依此求特殊的三角函数的值．着重考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换、诱导公式和同角三角函数基本关系等知识，属于中档题．