Question

已知函数f（x）=x³-tx²+3x，若对于任意的a∈[1，2]，b-a=1，函数f（x）在区间（a，b）上单调递减，则实数t的取值范围是（ ）
A．（-∞，3]
B．（-∞，5]
C．[3，+∞）
D．[5，+∞）

Answer 1

【答案】分析：由f（x）在区间（a，b）上单调递减，得f′（x）≤0即3x²-2tx+3≤0在（a，b）上恒成立，由二次函数的性质可得，即，又对于任意的a∈[1，2]，b-a=1，函数f（x）在区间（a，b）上单调递减，则不等式组关于a恒成立，分离出参数t后转化为函数最值问题可解决．
解答：解：f′（x）=3x²-2tx+3，
因为f（x）在区间（a，b）上单调递减，
所以f′（x）≤0即3x²-2tx+3≤0在（a，b）上恒成立，
所以有，即，
所以（*），
因为对于任意的a∈[1，2]，f（x）在（a，b）上单调递减，所以（*）式恒成立，
又（a=2时取等号），（a=2时取等号），
所以，即t≥5，
故选D．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、考查恒成立问题，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．