Question

设A，B分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且x=4为它的右准线，
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设P为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP，BP分别与椭圆相交于异于A，B的点M、N，证明点B在以MN为直径的圆内。

Answer 1

解：（Ⅰ）依题意得a=2c，=4，解得a=2，c=1，从而b=，
故椭圆的方程为；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得A（-2，0），B（2，0），设M（x₀，y₀），
∵M点在椭圆上，
∴y₀²=（4-x₀²），  ①
又点M异于顶点A、B，
∴-2＜x₀＜2，
由P、A、M三点共线可以得 P（4，），
从而，
   ②
将①代入②，化简得，
∵2-x₀＞0，
∴＞0，则∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，
故点B在以MN为直径的圆内。