Question

如图，P是抛物线C：y=x²上一点，直线l过点P并与抛物线C在点P的切线垂直，l与抛物线C相交于另一点Q，
（Ⅰ）当点P的横坐标为2时，求直线l的方程；
（Ⅱ）当点P在抛物线C上移动时，求线段PQ中点M的轨迹方程，并求点M到x轴的最短距离。

Answer 1

解：（Ⅰ）把x=2代入，得y=2，
∴点P坐标为（2，2），
由， ① 得y′=x，
∴过点P的切线的斜率=2，直线l的斜率k_l=，
∴直线l的方程为y-2=-(x-2)，即x+2y-6=0；
（Ⅱ）设，则，
∵过点P的切线斜率=x₀，当x₀=0时不合题意，x₀≠0，
∴直线l的斜率k_l=，
直线l的方程为，②
 联立①②消去y，得，
设，
∵M是PQ的中点，
∴，
消去x₀，得就是所求的轨迹方程，
由x≠0知，
∴，
上式等号仅当即时成立，
所以点M到x轴的最短距离是。