Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足．
（1）求角B的大小；
（2）若，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用向量数量积的运算法则化简已知可得，然后利用正弦定理化简后，根据sinA不为0得到cosB的值，根据B的范围及特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（2）根据向量的减法法则由得到即得到b的平方等于6，然后根据余弦定理表示出b的平方，把b的平方代入后，利用基本不等式即可求出ac的最大值，根据三角形的面积公式，利用ac的最大值及B的度数求出sinB的值，即可得到面积的最大值．
解答：解：（1）
可化为：，
即：，
∴，
根据正弦定理有，
∴，即，
因为sinA＞0，所以，即；
（II）因为，所以，即b²=6，
根据余弦定理b²=a²+c²-2accosB，
可得，
有基本不等式可知，
即，
故△ABC的面积，
即当a=c=时，
△ABC的面积的最大值为．
点评：此题考查学生灵活运用平面向量的数量积的运算法则，灵活运用正弦、余弦定理及三角形的面积公式化简求值，是一道综合题．