Question

【题目】已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，函数的图象恒在轴上方，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增；（2）．

【解析】

（1）先对求导，然后对进行分类，分别讨论的单调性；

（2）方法一：对于的取值进行分类：，考虑每种情况下对应时的取值，由此确定的最大值；

方法二：对进行分类，采用参变分离并分析新函数的最小值，由此得到的最大值.

（1），

当时，恒成立，在上单调递增,

当时，令，即，则 ,

当时，，在单调递减，

当时，，在单调递增，

综上所述：当时，在上单调递增.

当时 ，在单调递减，在单调递增.

（2）方法一：由已知得，当 时，恒成立，

由（1）得，当时，在上单调递增，

，不合题意；

当时，

对于任意有，故在单调递减；

对于任意有，故在单调递增，

因此当时，有最小值为成立．

当时，

对于任意有，故在单调递减，

因为恒成立，所以只需，即，

综上，的最大值为．

方法二：由题设知，当时，，

（1）当时，．

设，则，故在单调递减，

因此，的最小值大于，所以．

（2）当时，成立．

（3）当时，，因为，

所以当时，成立．

综上，的最大值为．