Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=5，D，E分别为BC，BB₁的中点，四边形B₁BCC₁是边长为6的正方形．
（Ⅰ）求证：A₁B∥平面AC₁D；
（Ⅱ）求证：平面A₁CE⊥平面AC₁D．

Answer 1

分析：（Ⅰ）连接A₁C，与AC₁交于O点，连接OD．在△A₁BC中，利用中位线定理得到OD∥A₁B．最后根据线面平面的判定定理，得到A₁B∥平面AC₁D．          
（II）首先利用直棱柱的性质结合等腰三角形的中线也是高，得到AD⊥平面B₁BCC₁，所以有AD⊥CE．然后在正方形B₁BCC₁中，利用中点得到Rt△CBE≌Rt△C₁CD，从而证出C₁D⊥CE，结合线面垂直的判定定理得到CE⊥平面AC₁D．最后根据面面垂直的判定定理，证出平面A₁CE⊥平面AC₁D．

解答：解：（Ⅰ）连接A₁C，与AC₁交于O点，连接OD．
∵△A₁BC中，O、D分别为AC₁和BC的中点，
∴OD∥A₁B．…（3分）
又∵OD?平面AC₁D，A₁B?平面AC₁D，…（4分）
∴A₁B∥平面AC₁D．                     …（5分）
（Ⅱ）证明：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵BB₁⊥平面ABC，AD?平面ABC，
∴B₁B⊥AD．
∵△ABC中，AB=AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC．
又∵BC∩B₁B=B，BC、B₁B?平面B₁BCC₁
∴AD⊥平面B₁BCC₁．
∵CE?平面B₁BCC₁，∴AD⊥CE．     …（7分）
∵四边形B₁BCC₁为正方形，D，E分别为BC、BB₁的中点，
∴Rt△CBE≌Rt△C₁CD，可得∠CC₁D=∠BCE．
∴∠BCE+∠C₁DC=∠CC₁D+∠C₁DC=90°，可得C₁D⊥CE．…（9分）
∵AD∩C₁D=D，AD、C₁D?平面AC₁D
∴CE⊥平面AC₁D．
又∵CE?平面A₁CE，
∴平面A₁CE⊥平面AC₁D．  …（12分）

点评：本题以一个特殊的直三棱柱为例，要我们证明线面平行和面面垂直，着重考查了平面与平面垂直的判定定理和直线与平面平移的判定定理，属于中档题．