Question

如图，△ABC内接于⊙O，过点A的直线交⊙O于点P，交BC的延长线于点D，且AB²＝AP·AD

(1)求证：AB＝AC；

(2)如果∠ABC＝60°，⊙O的半径为1，且P为弧AC的中点，求AD的长．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：联结BP． 　　∵AB2＝AP·AD，∴． 　　∵∠BAD＝∠PAB，∴△ABD∽△APB， 　　∴∠ABC＝∠APB，∵∠ACB＝∠APB， 　　∴∠ABC＝∠ACB．∴AB＝AC． 　　(2)由(1)知AB＝AC．∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形． 　　∴∠BAC＝60°，∵P为弧AC的中点， 　　∴∠ABP＝∠PAC＝∠ABC＝30°，∴∠BAP＝90°，∴BP是⊙O的直径，∴BP＝2，∴AP＝BP＝1， 　　在Rt△PAB中，由勾股定理得AB＝BP2－AP2＝3，∴AD＝＝3．