题目内容

已知数列{a_n满足a₁= $数学公式$ ，且对任意n∈N*，都有 $数学公式$ = $数学公式$ ．
（Ⅰ）求证：数列{ $数学公式$ }为等差数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）试问数列{a_n}中a_k•a_k+1是否仍是{a_n}中的项？如果是，请指出是数列的第几项；如果不是，请说明理由．

解：（Ⅰ）∵a_na_n+1+2a_n=4a_na_n+1+2a_n+1，2a_n-2a_n+1=3a_na_n+1，
∴ $\text{[math]}$ ，
所以数列 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 为首项，公差 $\text{[math]}$ 的等差数列． …（4分）
可得数列 $\text{[math]}$ 的通项公式 $\text{[math]}$ ，所 $\text{[math]}$ ．…（6分）
（Ⅱ） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ． …（8分）
因为 $\text{[math]}$ ，…（10分）
k是正整数时， $\text{[math]}$ 一定是正整数，所以 $\text{[math]}$ 是正整数．
（也可以从k的奇偶性来分析）
所以a_k•a_k+1是数{a_n}中的项，是 $\text{[math]}$ 项． …（12分）
分析：（Ⅰ）通过对已知条件的转化，可以得到 $\text{[math]}$ ，所以数列 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 为首项，公差 $\text{[math]}$ 的等差数列，继而可求a_n
（Ⅱ）得到 $\text{[math]}$ 之后，a_k•a_k+1= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，再去判断就容易了．
点评：本题考查数列的递推关系，解题的关键是对条件合理转化，通过转化后可求a_n，从而可以判断a_k•a_k+1是否为数列a_n中的项．