Question

已知关于x的方程x²-kx+k+3=0（k为实数）有两个正根，那么这两个根的倒数和的最小值是

2

3

．

Answer 1

分析：由题意可解得k≥6，由根与系数关系可得

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1•x2

=

k

k+3

=

1

1+ 3 k

，由k的范围结合不等式的性质变形可得答案．

解答：解：由题意可得△=（-k）²-4（k+3）≥0，
设两个为x₁，x₂，由两根为正根可得

x1+x2=k＞0 x1•x2=k+3＞0

，综合解得k≥6，
故两个根的倒数和为

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1•x2

=

k

k+3

=

1

1+ 3 k

，
∵k≥6，∴0＜

1

k

≤

1

6

，0＜

，3

k

≤

1

2

，
故1＜1+

，3

k

≤

3

2

，
∴

1

1+ 3 k

≥

2

3

，
故两个根的倒数和的最小值是

2

3

，
故答案为：

2

3

点评：本题考查一元二次方程根的存在性以及根与系数的关系，涉及不等式求范围，属中档题．