Question

【题目】已知动圆的圆心为点，圆过点且与被直线截得弦长为．不过原点的直线与点的轨迹交于两点，且．

（1）求点的轨迹方程；

（2）求三角形面积的最小值．

Answer 1

【答案】（1）．（2）16

【解析】

（1）设，根据圆的相交弦长公式，即可得出关系；

（2）由（1）得，曲线方程为，根据已知可得，设直线方程为，与抛物线方程联立，得，利用根与系数关系，将三角形面积表示为的函数，根据函数特征，即可求出最小值.

（1）设，圆的半径

圆到直线的距离

由于圆被直线截得弦长为，所以

即，化简得，

所以点的轨迹方程为．

（2）由知（或）

解法一：设直线的方程为

由消去得

即

，

由即，即

由于，所以，

所以解得

所以直线方程为恒过定点

三角形面积

当时，

所以三角形面积的最小值为16．

解法二：设

直线的方程为，则直线的方程为

由，解得即，

所以

同理可得

三角形面积

下面提供两种求最小值的思路：

思路1：利用基本不等式

，

当且仅当即时，

所以三角形面积的最小值为16．

思路2：用导数

不妨设，则，

当时，；当时，；

所以在上单调递减，在上单调递增

所以当时，

所以三角形面积的最小值为16．