题目内容

是否存在a、b、c使得等式1•22+2•32+…+n（n+1）2=
n(n+1)12
（an2+bn+c）．
分析：首先假设存在a、b、c使题设的等式成立，令n=1，2，3，可求得a、b、c的值，令Sn=1•22+2•32+…+n（n+1）2
用数学归纳法予以证明即可．
解答：解：假设存在a、b、c使题设的等式成立，
这时令n=1，2，3，有
4=
1
6
(a+b+c)
22=
1
2
(4a+2b+c)
70=9a+3b+c
解得：
a=3
b=11
c=10
．
于是，对n=1，2，3下面等式成立
1•22+2•32+…+n（n+1）2=
n(n+1)
12
(3n2+11n+10)
记Sn=1•22+2•32+…+n（n+1）2
证明：①由前面可知，当n=1时，等式成立，
②设n=k时上式成立，即Sk=
k(k+1)
12
（3k2+11k+10）
那么Sk+1=Sk+（k+1）（k+2）2=
k(k+1)
12
（k+2）（3k+5）+（k+1）（k+2）2
=
(k+1)(k+2)
12
（3k2+5k+12k+24）
=
(k+1)(k+2)
12
[3（k+1）2+11（k+1）+10]
也就是说，等式对n=k+1也成立．
综上所述，当a=3，b=11，c=10时，题设对一切自然数n均成立．
点评：本题考查数学归纳法，首先要求得a、b、c的值，考查方程思想，其次再用数学归纳法证明，证明时的难点在n=k+1，注意项数的变化与理解，属于难题．
练习册系列答案
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已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．
（1）若f（-1）=0，试判断函数f（x）零点个数；
（2）若对?x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），试证明?x0∈（x1，x2），使f(x0)=
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(x-1)2．若存在，求出a，b，c的值，若不存在，请说明理由．
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(x-1)2，若存在，求出a，b，c的值，若不存在，请说明理由．
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（2）若对x1x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），证明方程f（x）=
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①当x=-1时，函数f（x）有最小值0；
②对任意x∈R，都有0≤f（x）-x≤
(x-1)2
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若存在，求出a，b，c的值，若不存在，请说明理由．
已知二次函数f（x）=ax2+bx+c
（1）若f（-1）=0，试判断函数f（x）零点个数；
（2）若对任意的x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2）（a＞0），试证明：
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x1+x2
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）成立．
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①对任意x∈R，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥0；
②对任意的x∈R，都有0≤f（x）-x≤
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(x-1)2？若存在，求出a，b，c的值，若不存在，请说明理由．
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①对任意x∈R，f（-1+x）=f（-1-x），且f（x）≥0；
②对任意x∈R，都有0≤f（x）-x≤
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（x-1）2．若存在，求出a，b，c的值；若不存在，请说明理由．
（3）若对任意x1、x2∈R且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），试证明：存在x0∈（x1，x2），使f（x0）=
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[f（x1）+f（x2）]成立．

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