Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c．
（1）若f（-1）=0，试判断函数f（x）零点个数；
（2）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同时满足以下条件：①对任意x∈R，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥0；②对任意x∈R，都有0≤f(x)-x≤

1

2

(x-1)2，若存在，求出a，b，c的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）通过对二次函数对应方程的判别式进行分析判断方程根的个数，从而得到零点的个数；
（2）存在性问题的一般处理方法就是假设存在，然后根据题设条件求得参数的值．

解答：解：（1）∵f（-1）=0，
∴a-b+c=0即b=a+c，
故△=b²-4ac=（a+c）²-4ac=（a-c）²
当a=c时，△=0，函数f（x）有一个零点；
当a≠c时，△＞0，函数f（x）有两个零点．
（2）假设存在a，b，c满足题设，由条件①知抛物线的对称轴为x=-1
且f(x)min=0；?∴

- b 2a =-1 4ac-b2 4a =0

?

b=2a b2=4ac

?a=c
在条件②中令x=1，有0≤f（1）-1≤0，?
∴f（1）=1，
?即a+b+c=1
由

a+b+c=1 b=2a a=c

?a=c=

1

4

， b=

1

2

（检验略）
∴存在a=

1

4

， b=

1

2

， c=

1

4

使f（x）同时满足条件①②．

点评：本题考查函数零点个数与方程根的个数问题，以及存在性问题的处理方式，属于较难的题目．