Question

已知A={x|x²-4x+3=0}，B={x|x²-ax+a-1=0}，C={x|x²-mx+3=0}，且A∪B=A，A∩C=C，求a、m的取值范围．

Answer 1

解：∵A={x|x²-4x+3=0}={1，3}
又A∪B=A，∴B⊆A，
A∩C=C，∴C⊆A
又B={x|x²-ax+a-1=0}={x|x=1或x=a-1}，
而B⊆A∴a-1=1或a-1=3，即a=2或a=4
由C⊆A，知C∈{φ，{1}，{3}，{1，3}}
若C=φ，则△=m²-12＜0 即-2＜m＜2
若C≠φ，易知C≠{1}且C≠{3}
∴C={1，3} 即m=4
综上可知a=2或a=4；m=4或-2＜m＜2
分析：由已知得A和B集合的表示，再由A∪B=A，知B⊆A，显见B≠∅，对B分情况讨论可得答案，由A∩C=C得C⊆A，对C分是空集、单元素集合、双元素集合三种情况讨论，得到结果．
点评：本题考查集合间的相互包含关系及运算，本题解题的关键是应注意集合的子集情况，特别是空集，这是容易出错的知识点．本题是一个易错题．