Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E是AB的中点．
（1）求三棱锥D₁-DCE的体积；
（2）求证：D₁E⊥A₁D；
（3）求二面角D₁-EC-D的正切值．

Answer 1

分析：（1）根据长方体的几何特征可得DD₁是三棱锥D₁-DCE的高，由勾股定理可得底面DEC为直角三角形，代入棱锥体积公式，可得答案．
（2）以D为原点，DA为x轴建立空间坐标系D-xyz，分别求出D₁E和A₁D的方向向量，根据向量垂直的充要条件可得D₁E⊥A₁D；
（3）分别求出平面D₁EC的法向量和平面CDE的一个法向量，代入向量夹角公式可得答案．

解答：解：（1）由长方体性质可得，DD₁⊥面DCE，所以DD₁是三棱锥D₁-DCE的高，
又点E是AB的中点，AD=AA₁=1，AB=2，
所以，DE=CE=

2

，则DE²+EC²=CD²
∴∠DEC=90° …（2分）
∴三棱锥D₁-DCE的体积V=

1

3

•DD₁•

1

2

•DE•CE=

1

3

×1×

1

2

×

2

×

2

=

1

3

…（4分）
（2）如图，以D为原点，DA为x轴建立空间坐标系D-xyz
因为点E是AB的中点，且AD=AA₁=1，AB=2，
则D₁（0，0，1），E（1，1，0），A₁（1，0，1），D（0，0，0），C（0，2，0）
∴

D1E

=（1，1，-1），

A1D

=（-1，0，-1）…（6分）
∵

D1E

•

A1D

=0
所以，

D1E

⊥

A1D

即D₁E⊥A₁D…（8分）
（3）设

n

=（x，y，z）是平面D₁EC的法向量，
则

n • D1E =0 n • D1C =0

，即

x+y-z=0 2y-z=0

　令x=1得

n

=（1，1，2）…（10分）
又

DD1

=（0，0，1）是平面CDE的一个法向量，
设二面角D₁-EC-D的平面角为θ
则cosθ=

| n • DD1 |

| n |•| DD1 |

=

6

3

则sinθ=

3

3

则tanθ=

2

2

故二面角D₁-EC-D的正切值为

2

2

．…（13分）

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，棱锥的体积公式，直线与直线垂直，解答（1）的关键是求证棱锥的高及底面的形状，（2）的关键是建立空间坐标系，将空间夹角问题转化为向量夹角问题．