Question

在△ABC中，若

cosA+2cosC

cosA+2cosB

=

b

c

，则△ABC是（　　）

A．直角三角形

B．等腰三角形

C．等腰直角三角形

D．等腰或直角三角形

Answer 1

分析：根据正弦定理将已知条件中的等式变形，结合三角恒等变换化简得cosA[2sin（B-C）-（sinB-sinC）]=0，可得cosA=0或2sin（B-C）=sinB-sinC，再分情况讨论即可得到△ABC是等腰三角形或直角三角形．

解答：解：∵

cosA+2cosC

cosA+2cosB

=

b

c

，∴c（cosA+2cosC）=b（cosA+2cosB）
由正弦定理，得sinC（cosA+2cosC）=sinB（cosA+2cosB）
即cosA（sinB-sinC）=sin2C-sin2B=2cos（B+C）sin（C-B）
∵cos（B+C）=-cosA
∴cosA（sinB-sinC）=2cosAsin（B-C），移项得cosA[2sin（B-C）-（sinB-sinC）]=0
∴cosA=0或2sin（B-C）=sinB-sinC
①当cosA=0时，A=

π

2

，可得△ABC是直角三角形；
②若2sin（B-C）=sinB-sinC，
化简得sin

B-C

2

（2cos

B-C

2

-cos

B+C

2

）=0，
∵2cos

B-C

2

-cos

B+C

2

≠0，
∴sin

B-C

2

=0，可得B-C=0，得B=C，△ABC是等腰三角形
综上所述，△ABC是等腰三角形或直角三角形
故选：D

点评：本题给出三角形的边角关系式，判断三角形的形状，着重考查了正弦定理解三角形和三角恒等变换等知识，属于中档题．