Question

【题目】如果函数在定义域内存在区间[a，b]，使在[a，b]上的值域是[2a，2b]，那么称为“倍增函数”。

（I）判断=是否为“倍增函数”，并说明理由；

（II）证明：函数=是“倍增函数”；

（III）若函数=ln（）是“倍增函数”，写出实数m的取值范围。（只需写出结论）

Answer 1

【答案】（I）见解析；（II）见证明；（III）<m<0

【解析】

（I）根据时，判断出为“倍增函数”.（II）首先利用导数判断出为单调递增函数，构造函数，利用导数求得函数有且只有两个零点，进而判断出函数是“倍增函数”.（III）为增函数，且为“倍增函数”，所以，即；所以方程，化为有两个不相等的实数根，且两根都大于零.即，解得.所以的取值范围是.

解：（I）=是“倍增函数”，理由如下：

=的定义域是R，且在[0，+）上单调递增；

所以，当 [0，2]时，∈[0，4]，

所以，=是“倍增函数”。

（II）=的定义域是R。

当x>0时，=>0，所以在区间（0，+）上单调递增。

设=－2x=，=。

设h（x）==，=>0，

所以，h（x）在区间（－，+）上单调递增。

又h（0）=－2<0，h（1）=e－1>0，

所以，存在唯一的∈（0，1），使得h（）==0，

所以，当x变化时，与的变化情况如下表：

x	（－，）		（，+）
	－	0	+
	↘		↗

因为g（1）=e－3<0，g（2）=>0，

所以，存在唯一的∈（1，2），使得=0，

又=0，所以函数只有两个零点，即0与。

所以=0，=2。

结合在区间（0，+）上单调递增可知，当x∈[0，]时的值域是[0，2]。

所以，令[a，b]=[0，]，=是“倍增函数”。

（III）<m<0。