Question

若AB是过二次曲线中心的任一条弦，M是二次曲线上异于A、B的任一点，且AM、BM均与坐标轴不平行，则对于椭圆=1有K_AM•K_BM=-．类似地，对于双曲线-=1有K_AM•K_BM=    ．

Answer 1

【答案】分析：设A，B所在直线为y=kx与椭圆方程联立设A（x₁，y₁）B（x₂，y2）M（m，n）根据韦达定理表示出y₁y₂和x₁x₂，把点M的坐标代入椭圆方程，进而可表示出AM和BM的斜率，求得两斜率乘积的表达式，把y₁+y₂=0 x₁+x₂=0以及x₁x₂，y₁y₂，n²代入并整理就能得到答案．
解答：解：设A，B所在直线为y=kx与双曲线方程b²x²-a²y²=a²b²
联立得：（b²-a²k²）x²=a²b²
设A（x₁，y₁）B（x₂，y2）M（m，n）
根据韦达定理
x₁x₂=代入y=kx
y₁y₂=
把M的坐标代入双曲线方程得n²=（a²b²+b²m²）
kAM•kBM=（y₁-n）（y₂-n）/（x₁-m）（x₂-m）
=[y₁y₂-（y₁+y₂）n+n²]
因为AB是过二次曲线中心的任一条弦，所以AB过原点
y₁+y₂=0 x₁+x₂=0
kAM•kBM=
把x₁x₂，y₁y₂，n²代入并整理就能得到kAM•kBM=
点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．