Question

若AB是过二次曲线中心的任一条弦，M是二次曲线上异于A、B的任一点，且AM、BM均与坐标轴不平行，则对于椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1有K_AM•K_BM=-

a2

b2

．类似地，对于双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1有K_AM•K_BM=

 

．

Answer 1

分析：设A，B所在直线为y=kx与椭圆方程联立设A（x₁，y₁）B（x₂，y2）M（m，n）根据韦达定理表示出y₁y₂和x₁x₂，把点M的坐标代入椭圆方程，进而可表示出AM和BM的斜率，求得两斜率乘积的表达式，把y₁+y₂=0 x₁+x₂=0以及x₁x₂，y₁y₂，n²代入并整理就能得到答案．

解答：解：设A，B所在直线为y=kx与双曲线方程b²x²-a²y²=a²b²
联立得：（b²-a²k²）x²=a²b²
设A（x₁，y₁）B（x₂，y2）M（m，n）
根据韦达定理
x₁x₂=

-a2b2

b2-a2k2

代入y=kx
y₁y₂=

-k2a2b2

b2-a2k2

把M的坐标代入双曲线方程得n²=

1

a2

（a²b²+b²m²）
kAM•kBM=（y₁-n）（y₂-n）/（x₁-m）（x₂-m）
=

1

x 1x 2-(x 1+x 2)m+m2

[y₁y₂-（y₁+y₂）n+n²]
因为AB是过二次曲线中心的任一条弦，所以AB过原点
y₁+y₂=0 x₁+x₂=0
kAM•kBM=

y1y2+n2

x1x2+m2

把x₁x₂，y₁y₂，n²代入并整理就能得到kAM•kBM=

a2

b2

点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．