Question

设,分别是椭圆：的左、右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于,两点, 到直线的距离为,连结椭圆的四个顶点得到的菱形面积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的左顶点作直线交椭圆于另一点, 若点是线段垂直平分线上的一点,且满足,求实数的值．

Answer 1

（1）椭圆的方程为；（2）满足条件的实数的值为或.

试题分析：（1）利用椭圆的几何性质及到直线的距离为，建立的方程组即得；
（2）由（1）知:, 设
根据题意可知直线的斜率存在，可设直线斜率为,则直线的方程为
把它代入椭圆的方程,消去,整理得:
应用韦达定理以便于确定线段的中点坐标为.
讨论当，的情况，确定的值.
试题解析：（1）设,的坐标分别为,其中
由题意得的方程为:
因到直线的距离为,所以有,解得    1分
所以有   ①
由题意知: ,即 ②
联立①②解得:
所求椭圆的方程为                  5分
（2）由（1）知:, 设
根据题意可知直线的斜率存在，可设直线斜率为,则直线的方程为
把它代入椭圆的方程,消去,整理得:
由韦达定理得,则,，
，线段的中点坐标为   7分
(ⅰ)当时, 则有,线段垂直平分线为轴
于是
由,解得:           9分
（ii）因为点是线段垂直平分线的一点,
令,得:，于是
由,解得:
代入,解得:
综上, 满足条件的实数的值为或           13分