Question

已知四棱锥V—ABCD的高为h，底面是菱形，侧面VAD和侧面VDC都垂直于底面ABCD，并且这两个侧面所成的二面角为120°，另外两个侧面都和底面成30°角，求棱锥的全面积S_全.

Answer 1

解析:∵侧面VAD⊥面AC，

侧面VCD⊥面AC，且面VAD∩面VCD=VD,

∴VD⊥面AC.

∴∠ADC是两侧面VAD与VDC所成二面角的平面角,为120°.在底面ABCD中，作DH⊥AB于H，连结VH，则AB⊥VH，

∴∠VHD是侧面VAB与底面所成的角，即∠VHD=30°.

在Rt△VDH中，VD=h,

∴DH=VD·cot30°=h,VH=2h.

又∵四边形ABCD为菱形，

∴△ABD为正三角形.

∴AB=DH∶sin60°=2h.

∴S_全=2S_△VAB+2S_△VAD+

=VH·AB+VD·AD+AB·DH=2h·2h+h·2h+2h²=（6+2）h².