Question

在三棱锥C-ABO中，BO、AO、CO所在直线两两垂直，且AO=CO=1，∠BAO=60°，E是AC的中点．
（1）求三棱锥C-ABO的体积；
（2）D是AB的中点，求异面直线DC和OE所成的角的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意得：CO⊥平面ABO，即CO就是三棱锥C-ABO的高，然后根据锥体的体积公式进行求解即可；
（2）设AD的中点为F，连接EF、OF，因为E为AC的中点，所以∠FEO就是异面直线DC和OE所成的角，然后利用余弦定理求出此角，最后利用反三角表示此角即可．
解答：解：（1）由题意得：CO⊥平面ABO，即CO就是三棱锥C-ABO的高，…（2分）
在Rt△ABO中，AO=1，∠BAO=60°，所以BO=，AB=2，
CO=1，所以V_C-ABO=××AO×BO×CO=．…（6分）
（2）设AD的中点为F，连接EF、OF，因为E为AC的中点，所以EF∥CD，
所以∠FEO就是异面直线DC和OE所成的角，…（9分）
在△AOF中，AO=2AF=1，∠BAO=60°，
所以△AOF为直角三角形，OF=，
又在Rt△COD中，CD=，所以EF=，又OE=
在△EFO中，cos∠FEO==…（13分）
∠FEO=arccos，异面直线DC和OE所成的角的大小为arccos．…（14分）
点评：本题主要考查了棱锥的体积的计算，以及异面直线的所成角，同时考查了余弦定理的应用，属于中档题．