题目内容
已知向量
=（
sinwx，coswx），
=（coswx，coswx），其中w＞0，记函数f（x）=
•
，已知f（x）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求w的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）当x∈（0，
]时，求函数f（x）的值域．
| a |
| 3 |
| b |
| a |
| b |
（Ⅰ）求w的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）当x∈（0，
| π |
| 3 |
分析：（Ⅰ）由已知条件，利用向量的数量积公式和三角函数公式能求出f（x）的表达式，再由f（x）的最小正周期为π，能求出w．
（Ⅱ）由f（x）=sin（2x+
）+1，利用正弦函数的图象的性质，能求出f（x）的单调增区间．
（Ⅲ）由f（x）=sin（2x+
）+1，根据x∈（0，
]，求出2x+
∈（
，
]，由此能求出函数f（x）的值域．
（Ⅱ）由f（x）=sin（2x+
| π |
| 6 |
（Ⅲ）由f（x）=sin（2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
解答：解：（Ⅰ）∵
=（
sinwx，coswx），
=（coswx，coswx），其中w＞0，
∴f（x）=
•
=
sinwxcoswx+cos2wx
=
sin(2wx)+
cos(2wx)+
=sin（2wx+
）+
，
∵f（x）的最小正周期为π，
∴
=π，解得w=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=sin（2x+
）+1，
∴f（x）的单调增区间满足条件：
-
+2kπ≤2x+
≤
+2kπ，k∈Z，
解得kπ-
≤x≤kπ+
，
∴f（x）的单调增区间为[kπ-
，kπ+
]．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知：f（x）=sin（2x+
）+1，
∵x∈（0，
]，
∴2x+
∈（
，
]，
∴当2x+
=
时，f（x）max=sin
+1=2；
当2x+
=
π时，f（x）min=sin
+1=
，
∴当x∈（0，
]时，函数f（x）的值域[
，2]．
| a |
| 3 |
| b |
∴f（x）=
| a |
| b |
| 3 |
=
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=sin（2wx+
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
∵f（x）的最小正周期为π，
∴
| 2π |
| 2w |
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=sin（2x+
| π |
| 6 |
∴f（x）的单调增区间满足条件：
-
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
解得kπ-
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
∴f（x）的单调增区间为[kπ-
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
（Ⅲ）由（Ⅰ）知：f（x）=sin（2x+
| π |
| 6 |
∵x∈（0，
| π |
| 3 |
∴2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
∴当2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
当2x+
| π |
| 6 |
| 5 |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
| 3 |
| 2 |
∴当x∈（0，
| π |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
点评：本题考查平面向量数量积的运算，考查正弦函数增区间的求法，考查正弦函数值的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．
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