Question

【题目】已知椭圆的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线的焦点重合，过点的直线与椭圆相交于、两点.

(1)求椭圆的方程；

(2)若以为直径的圆过坐标原点，求的值.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)

【解析】

（1）由离心率得到，由椭圆的短轴端点与双曲线的焦点重合，得到，进而可求出结果；

（2）先由题意，得直线的斜率存在，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，设，根据韦达定理，得到，，再由以为直径的圆过坐标原点，得到，进而可求出结果.

(1)由题意知，

∴，即 ，

又双曲线的焦点坐标为，椭圆的短轴端点与双曲线的焦点重合，

所以，∴，

故椭圆的方程为.

(2)解：由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为

由得：

由得：

设，则，，

∴

因为以为直径的圆过坐标原点，

所以，

.满足条件

故.